Statistik Ekonomi Lanjutan: Makalah Teori Peluang


 KATA PENGANTAR
Om Swastyastu,
Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa (Ida Sang Hyang Widhi Wasa), karena atas asungkerta waranugrahanya tugas makalah ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya dalam rangka memenuhi tugas salah satu mata kuliah Statistik Ekonomi Lanjutan.
Untuk memenuhi persyaratan tersebut disusunlah makalah ini yang berjudul “Teori Peluang” Dalam pembuatan makalah ini penulis menyadari betul terdapat banyak kesalahan dan kekeliruan maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran agar pembuatan makalah selanjutnya dapat di buat semaksimal mungkin.
Harapan dari penulis semoga penyusunan makalah ini, dapat memberikan manfaat bagi setiap orang yang membacanya. Jika pada makalah ini terdapat banyak kekurangan, maka dari itu kritik dan saran yang konstruktif sangat dibutuhkan demi terwujudnya kesempurnaan makalah ini.

Om Shanti Shanti Shanti Om

DAFTAR ISI
Kata Pengantar…………………………………………………………......i
Daftar Isi…………………………………………………………………...ii

BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang………………………………………………………….1
1.2 Rumusan Masalah…………………………………………………........1
1.3 Tujuan Penulisan……………………………………………………......1

BAB II PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Peluang…………………………………………………......2
2.2 Kaidah Pencacahan…………………………………………………......3
2.3 Ruang Sampel dan Kejadian Serta Percobaan……………………….....7
2.4   Peluang Suatu Kejadian Dan Komplomennya………………………...8
2.5  Peluang Kejadian Majemuk…………………………………………....9

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan……………………………………………………………11
3.2 Saran…………………………………………………………………..11

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………..12

BAB I
PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang
Teori peluang adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari ketidakpastian. Ilmi ini awalnya dikembangkan dari permainan spekulasi, seperti permainan kartu remi dan pelemparan dadu.
Pada awalnya, teori peluang diaplikasikan untuk menentukan kemungkinan memenangkan suatu permainan judi. Setelah berkembang, teori ini diperlukan dalam penyelesaian masalah dalam berbagai bidang seperti meteorology, asuransi dan industry. Sebagai contoh, dalam proses pengeringan kue, kejadian cacat adalah kue pecah atau hancur. Kemungkinan kejadian cacat dalam periode produksi dapat dijelaskan dengan teori peluang. Bahkan teori peluang mendasari kebanyakan metode-metode statistik, yaitu suatu bidang matematika yang aplikasinya hamper meliputi setiap area kehidupan modern.
Hitung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari.

1.2  Rumusan Masalah
1.   Menjelaskan pengertian percobaan, ruang sampel dan kejadian ?
2.   Menjelaskan cara menyatakan ruang sampel dari suatu percobaan ?
3.   Menjelaskan cara menentukan peluang suatu keejadian ?

1.3 Tujuan Penulisan
1.      Untuk memahami pengertian percobaan, ruang sampel serta kejadian
2.      Untuk memahami cara menyatakan ruang sampel dari suatu percobaan
3.      Untuk memahami cara mennentukan peluang suatu kejadian
4.      Agar bisa lebih memahami peluang kejadian majemuk

BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Peluang
Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peristiwa. Oleh karena itu, untuk mendiskusikan dimulai dengan suatu pengamatan tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari suatu percobaan dinamakan hasil (outcomes) atau titik sampel. Peluang disebut juga probabilitas yang berarti ilmu kemungkinan.
Peluang semata-mata adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya suatu peristiwa. Secara kualitatif peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu keadaan seperti “baik”, “lemah”, “kuat”, “miskin”, “sedikit” dan lain sebagainya.
 Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi.
Peluang disebut juga probabilitas yang berarti ilmu kemungkinan.Di dalam peluang dikenal ruang sampel dan titik sampel.Ruang sampel adalah himpunan yang berisi semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel biasa dinotasikan dengan S.
Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan.
Peluang Suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut. Misalnya A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan :

Contoh 1:
Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya :
   1. Munculnya mata dadu ganjil
   2. Munculnya mata dadu genap
   3. Munculnya mata dadu prima
Jika pada percobaan tersebut diinginkan  kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel.           

2.2 Kaidah Pencacahan.
Kaidah Pencacahan adalah suatu cara/ aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Kaidah pencacahan ini antara lain adalah aturan pengisian tempat, permutasi, dan kombinasi.

(1). Aturan pengisian tempat yang tersedian (Aturan perkalian)
Untuk memahami kaidah pencacahan dengan menggunakan Aturan pengisian tempat yang tersedia, perhatikan contoh berikut:

Contoh 2:
            Misalkan tersedia 2 buah celana masing-masing berwarna biru dan hitam, serta tiga buah baju berwarna kuning,merah, dan putih. Masalahnya adalah berapa banyak pasangan baju dan celana yang dapat di susun?

a)      Diagram Batang.
Warna Celana

Pasangan Warna

Warna Baju

b

Berdasarkan penyelesaian soal di atas terlihat bahwa pasangan celana dan baju dapat di susuan sebanyak 6 macam pasangan.

b)      Tabel silang.
Warna baju
 / warna celana
K (kuning)
M (merah)
P (putih)
B (biru)
(b,k)
(b,m)
(b,p)
H(hitam)
(h,k)
(h,m)
(h,p)
Definisi :
Aturan pengisian tempat adalah suatu cara yang dapat di lakukan dengan cara mendaftar semua kemungkinan hasil secara manual.

(2). Permutasi.
            Permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek- objek berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada objek yang di ulang dari objek-objek tersebut.
Definisi: Untuk setiap bilangan asli n, di definisikan:
n! = 1  X  2  X  3  X . . . X  (n-2)  X (n-1)  X  n

a) Faktorial Dari Bilangan Asli.
Dengan Menggunakan Definisi diatas, faktorial asli dapat di tentukan. Sebagai contoh:
1.      4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
2.      6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6  = 720

b). Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda.
Misalkan dari tiga duag buah angka 1,2, dan 3 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas tiga angka dengan bilangan-bilangan itu tidak mempunyai angka yang sama.Susunan yang dapat dibentuk adalah:
123            132           213             231           312             321
Banyak cara untuk membuar susunan seperti itu adalah 3 X 2 X 1=6  .Susunan yang di peroleh di atas disebut permutasi  3 unsur yang di ambil dari 3 unsur yang tersedia.
Permutasi dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi:
Permutasi  r unsur yang di ambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan ( r ≤  n).
1.      Permutasi n  objek dari n  objek yang berbeda di rumuskan:
nPn = n!
2.      Permutasi k objek dari n objek yang berbeda,  k ≤ n Dirumuskan :
npk = n!/ (n-k)!
3.      Permutasi n  objek dari n  objek yang sama, misal n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, ... dan sejumlah nk objek qk dengan n1 + n2 + ... + nk = n, di rumuskan :
nPn1,n2, . . . ,nk =          n!
                               n1! n2! ... nk!

Contoh 3:
            Pada kata GANGGANG terdapat 8 huruf dengan 4 huruf G, 2 huruf A, dan 2 huruf N sehingga banyak susunan huruf berbeda yang dapat di bentuk dari kata “GANGGANG”
adalah 8,4,2,2 = 8! / 4! 2! 2! = 8.7.6.5/2.2 = 420 huruf.
P = n x (n-1) x (n-2) x . . .x (n-r-1) = n!/(n-r)!

c) Permutasi yang memuat beberapa unsur sama
Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama (k ≤ n), maka banyak permutasi dari n unsur itu di tentukan dengan aturan : P = n!/k!
Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama (k + l + m ≤ n), maka banyak permutasi dari n unsur itu di tentukan dengan aturan : P = n!/k!l!m!

Contoh 4:
1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat di bentuk dari huruf-huruf B,E,R,J,E,J,E,R
 Penyelesaian :
Banyak unsur n = 8, banyak unsur yang sama k = 3, ( untuk huruf  E), l = 2 (untuk huruf R), dan m = 2 (untuk huruf J).
P =   8!       =  1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8     = 1.680
     3!2!2!         (1 x 2 x 3)(1 x 2)(1 x 2)
Jadi,  banyak susunan huruf  yang  di bentuk dari huruf-huruf B,E,R,J,E,J,E,Dan R ada 1.680 macam.
d) Permutasi siklis
Misalkan tersedia n yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:
Psiklis=(n-1)!
      
Contoh 5:
Misalkan ada 4 orang A (Ani). B(Boy), C (Carli) dan D (Doni) menempati empat buah kursi yang mengelilingi sebuah sebuah meja bundar. Berapa banyak  susunan yang dapat terjadi?
Penyeleasaian :
Banyak unsur n = 4, maka banyak permutasi siklis dari 4 unsur itu seluruhnya ada
Psiklis = (4-1)!=3!= 1X2X3=6
Jadi banyaknya susunan yang dapat terjadi ada 6 macam.

(3). Kombinasi
Misalkan dari 3 huruf yang berbeda A,B,Dan C Akan dimbil dua huruf tanpa memperhatikan urutannya. Oleh karena urutan tidak di perhatikan, maka susunan AB = BA, AC = CA, Dan BC= CB.  Dengan demikian, hanya terdapat 3 pilihan yaitu susunan-susunan AB,AC Dan BC. Pemilihan yang di lakukan dengan cara seperti itu disebut kombinai 2 unsur yang di ambil dari 3 unsur yang berbeda.
Definisi:
Kombinasi r unsur yang di ambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r ≤  n).
        
nCn = 1
Kombinasi n objek yang berbeda di rumuskan:
       
nCk =              n!
            K! (n-k)!
Kombinasi k ojbek dari n objek yang berbeda, k ≤  n,dirumuskan:

Contoh 6:
Hitunlah kombinasi-kombinasi berikut ini.
C52                                                                                                         b) C127
Penyelesaian:                                                   penyelesaian :
C52  =   5!                  =  10                               C127   =                         12!       = 792
            2! (5 – 2 )!                                                                  7! (12-7)!

2.3  Ruang Sampel dan Kejadian Serta Percobaan.

      (1). Pengertian.
Kegiatan mengetos uang logam dan mengetos dadu disebut percobaan. Dalam setiap percobaan, selalu ada hasil. Sebagai contoh, percobaan mengetos uang logam, hasilnya muncul sisi angka (A) atau sisi gambar (G).Percobaan adalah suatu kejadian yang memberikan suatu hasil yang dapat diamati. Hasil yang diamati dalam suatu percobaan disebut hasil percobaan.
Himpunan dari semua hasil yang mungkin untuk suatu percobaan disebut ruang sampel. Sebagai contoh, untuk percobaan mengetos uang logam, ruang sampel diberi notasi S (singkatan dari “sampel”) dapat dinyatakan sebagai :
S = {A, G}
Untuk percobaan mengetos dadu, ruang sampelnya dapat dinyatakan sebagai berikut :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tiap elemen dalam ruang sampel S disebut titik sampel. Titik-titik sampel untuk percobaan mengetos uang logam adalah A dan G. Titik-titik sampel untuk percobaan mengetos dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.

(     (2). Ruang Contoh Dan Ruang Sampel.
1.Ruang contoh dan ruang sampel adalah himpuanan dari semua hasil yang mungkin pada sebuah percobaan.
2. Titik contoh atau titik sampel adalah adalah anggota-anggota dari ruang contoh atau ruang sampel.
       
      


  Kejadian peluang:
1.  Kejadian sederhana atau kejadian elementer adalah suatu kejadian yang hanya memiliki satu contoh
2.  Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang mempunyai titik contoh lebih dari satu.
Dalam percobaan mengetis satu keeping uang logam, hasil percobaan yang mungkin muncul adalah muncul A atau G. Dalam suatu pengetosan, tidak dapat dipastikan apakah akan muncul A atau G. Untuk uang logam yang sempurna (homogeny, simetris dan tidak cacat) dapat diasumsikan bahwa kemungkinan muncul A atau G adalah sama. Untuk uang logam dittos sebanyak 100 kali, sisi A muncul kira-kira 50 kali.
              
               Ketika dilakukan pengetosan uang logam sebanyak n kali dan akan diamati salah satu sisinya, misalnya sisi A, jika sisi A muncul k kali dalam n kali percobaan maka harga  disebut frekuensi relatif. Jika n makin besar maka harga  akan mendekati suatu harga mantap, yaitu Harga mantap inilah yang merupakan dasar dari teori peluang.

2.4   Peluang Suatu Kejadian Dan Komplomennya.

(1). Menghitung Peluang Dengan Pendekatan Frekuensi Nisbi.
   Ex:  Seorang siswa melakuka percobaan melempar sekeping mata uang logam beberapa kali, misalnya hasil percobaannya sebagai berikut :
§  Untuk lemparan sebanyak 10 kali, didapat hasil munculya gambaran sebanyak 6 kali,dalam hal demikian, di katakana frekuensi munculnya gambaran adalah 6 kali.frekuensi nisbi munculnya gambar sama dengan 6 / 10 = 0,6
§  Untuk lemparan sebanyak 20 kali, di dapat frekuensi munculnya gambar adalah 9 kali, frekuensi nisbiya sama dengan  9 / 20 = 0,45
§  Untuk lemparan sebanyak 30 kali, di dapat frekuensi munculnya gambar adalah 16 kali, frekuensi nisbiya sama dengan  16 / 30 = 0,53 (teliti sampai 2 tempat desimal)
§  Untuk lemparan sebanyak 40 kali, di dapat frekuensi munculnya gambar adalah 21 kali, frekuensi nisbiya sama dengan  21 / 40 = 0,525

Hasil-hasil percobaan dan perhitugan di atas dapat di sajikan dalam table berikut :
Banyak Lemparan
10
20
30
40
Frekuensi Munculnya Gambar
6
9
16
21
Frekuensi Nisbi Munculnya Gambar
6/10
9 / 20
16 / 30
21 / 40
              
               Berdaarkan table diatas, dapat di buat grafik frekuensi nisbi munculnya gambar pada sebuah kertas grafik.frekuensi nisbi munculnya 100 kali, yaitu dengan cara menjumlahkan lemparan sebanak 10,20,30,dan 40 kali. Pada lemparan 10 kali itu, frekuensi munculnya gambar sama dengan (6 + 9 + 16 + 21) = 52 sehingga frekuensi nisbinya 52 / 100 =  0,52. Cara atau metode menghitung peluang seperti ini disebut meghitung peluang dengan pendekatan frekuensi nisbi.

(2). Menghitung Peluang Dengan Pedekatan Definisi Peluang Klasik.
Dalam percobaan melempar mata uang logam secara berulang. Frekuensi nisbi munculnya sisi gambar dekat dengan nilai 1/2. Sisi gambar dan tulisan memiiki peluang kejadan yang sama untk muncul.
Dituliskan: P (gambar) = P(G) = ½
P (tulisan) = P (T) = ½
Jadi, P(G) = P(T) = ½

Misalkan dalam sebuah percobaan menyeaban munculnya n  hasil yang mungkin dengan masing-masing hasil mempunyai kesempatan yang sama. Maka dirumuskan: P(E) =  k / n

      (3). Munghitung Peluang Dengan Menggunkan Ruang Contoh.
Mislan S adalah rung contoh dari sebuah percoban dan masing-msing anggota S memiliki kesempatan yang sam auntuk muncul.jika E adalah suatu kejadian dengan E ­­­ S maka peluang kejadian E irumuskan : P(E) = n (E) / n (S)
       N (E) adalah banyak anggota dalam himpunan kejadian E
       N (S) adlah banyak anggota dalam hipunan ruang contoh S

(4) .      Frekuensi Harapan Suatu Kejadian.
Frekuensi harapan suatu kejadian (diberi notasi F(E)) didefinisikan sebagai hasil kali banyak percobaan (n kali) dan peluang kejadian akan terjadi dalam suatu percobaan, P(E). Secara matematis diberikan oleh : F(E) = n x P(E)
Freuensi harapan adalah banyak kejadian atau pristiwa yang di harapkan dapat terjadi pada sebuah percobaan

    (5).  Peluang Komplemen Suatu Kejadian. 
Jika E’ adalah komplemen kejadian E maka pelung kejadian E’ Di tentukan dengn aturan: P(E’) = 1 – P(E)
Dengan P(E) adalah peluang suatu kejadian.
             P (E’) adalah peluang komplemen kejadian E.

2.5  Peluang Kejadian Majemuk
(1). Menentukan Peluang Gabungan Dua Kejadian.
      a) peluang gabungan dua kejadian
Peluang kejdian dua gabungan ( Kejadian A Atau kejadian B) Dapat di tentukan dengan rumus berikut :
Misalkan A dan B adalah suatu kejadian yang berada dalam ruang contoh S. maka peluang kejadian  A  B di tentukan dalam :  P( A     B) = P(A) + P(B) – P(A    B)
               Rumus peluang kejadan A    B  Di peroleh dari definisi dengan menggunakan rumus ruang contoh yang di sesuaikan variabelnya.  Variable E dig anti engan A    B.
 Sehingga P ( A    B) = n(A    B) / n (S)

b) peluang dua kejadian yang saling lepas.
            Pada percobaan pelemparan dadu berisi enam sebanak satu kali,misalkan terjadi dua
kejadian berikut:
§  Kejadian A adalah kejadian muncul mata dadu angka ≤ 3, maka A = {1,2}
§  Kejadian B adalah kejadin muncul angka dadu ≥ 4 = {4,5,6}
Karena himpunan A dan himpunan B tidak memiliki anggota yang sama, sehingga Anggota A dan B merupakan himpunan yang saling lepas atau saling asing.
Jika A dan B merupakan kejadian ang saling lepas,maka peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas itu di tentukan dengan aturan : P(A     B ) = P(A) + P(B)

(2). Menghitung peluang dua kejadian yang saling bebas.
            Misalkan : 1)  kejadian A adalah kejadian muncul ata dadu pertama  2 yaitu :
                                    A = {2,1}, {2,2},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6}
                             2)  kejadian B adalah kejadian muncul mata dadu angka ke  du 5 :
                                    B = {1,5},{2,5},{3,5},{4,5},{5,5},{65},
Kejadin A dan B isebut kejadian yang saling bebas jika kejadian  tidak terpengaruh oleh kejadian B atau sebalinya.

BAB III
KESIMPULAN
3.1 Kesimpulan.
Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peristiwa. Oleh karena itu, untuk mendiskusikan dimulai dengan suatu pengamatan tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari suatu percobaan dinamakan hasil (outcomes) atau titik sampel. Peluang disebut juga probabilitas yang berarti ilmu kemungkinan.
Peluang Suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut. Misalnya A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan :

3.2 Saran.
            Dalam pembuatan makalah ini penulis menyadari betul masih terdapat banyak kesalahan dan kekeliruan maka dari itu penulis mengharapkan kritk dan saran yang membangun kepada pembaca. Selai itu penulis sampaikan kepada pembaca agar tidak erasa cepat puas dengan materi yang ada karena masih banyak cara yang bisa di jadikan media belajar dan penambahan wawasan.

DAFTAR PUSTAKA
Sartono wirodikromo,matematika 2003 untuk SMA 2 IPA.Erlangga,Jakarta 2006
Sartono wirodikromo,Matematika 2000 untuk SMU Jilid 1 sampai 6.Erlangga, Jakarta 2003
Sulistiyono ,SPM( Seri Pendalaman Materi) dan menaklukan soal UAN Matematika SMA. Erlangga, Yogyakarta, 2006
Ayu Candhik, Puas UN Matematika IPA untuk SMA/MA.CV.Chandik Ayu.Jakarta 2006
Kumpulan Modul SMA / MA
internet

0 Response to "Statistik Ekonomi Lanjutan: Makalah Teori Peluang"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel