Makalah Distribusi Normal dan Binominal

KATA PENGANTAR
Om Swastyastu,

Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa (Ida Sang Hyang Widhi Wasa), karena atas asungkerta waranugrahanya tugas makalah ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya dalam rangka memenuhi tugas salah satu mata kuliah Statistik Ekonomi Lanjutan. 

Untuk memenuhi persyaratan tersebut disusunlah makalah ini yang berjudul “Distribusi Normal Baku dan Binominal” Dalam pembuatan makalah ini penulis menyadari betul terdapat banyak kesalahan dan kekeliruan maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran agar pembuatan makalah selanjutnya dapat di buat semaksimal mungkin.

Meskipun dalam penyusunan makalah ini, penulis telah berusaha dengan maksimal, namun penulis masih merasa memiliki kekurangan dalam makalah ini, maka dari itu penulis meminta kritik dan saran pembaca makalah ini. Kami berharap makalah ini dapat bermanfaat bagi penulis pada khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.

Harapan dari penulis semoga penyusunan makalah ini, dapat memberikan manfaat bagi setiap orang yang membacanya. Jika pada makalah ini terdapat banyak kekurangan, maka dari itu kritik dan saran yang konstruktif sangat dibutuhkan demi terwujudnya kesempurnaan makalah ini.

Om Shanti Shanti Shanti Om

Denpasar, 3 Oktober 2018

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR………………………………………………………….…….i
DAFTAR ISI…………………………………………………………………….…..ii

BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang………………………………………………………………..1
1.2. Rumusan Masalah……………………………………………………………1
1.3. Tujuan Penulisan……………………………………………………………..1

BAB II PEMBAHASAN
2.1 Distribusi Normal dan Binominal………………………………………..……2
2.2 Distribusi Normal Baku…………………………………………………..……8
2.3 Pendekatan Distribusi Normal untuk Distribusi Binominal………………..12

BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan…………………………………………………………………….17
3.2 Saran……………………………………………………………………………17

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………….18



BAB I 

PENDAHULUAN 
1.1. Latar Belakang 

Dikenalnya distribusi normal diawali oleh kemajuan yang pesat dalam pengukuran pada abad ke 19. Pada waktu itu, para ahli matematika dihadapkan pada suatu tantangan mengenai fenomena variabilitas pengamat atau interna yang artinya bila seorang mengadakan pengukuran berulang-ulang maka hasilnya akan berbeda-beda. 

Yang menjadi pertanyaan adalah nilai manakah yang dianggap paling tepat dari semua hasil pengukuran tersebut. Maka kemudian berdasarkan kesepakatan maka nilai rata-rata dianggap paling tepat dan semua penyimpangan dari rata-rata dianggap suatu kesalahan atau error. 

Abraham de Moivre adalah yang pertama kali memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss. Sehingga nama lain distribusi ini adalah distribusi Gauss. 

Gauss mengamati hasil dari percobaan yang dlakukan berulang-ulang, dan dia menemukan hasil yang paling sering adalah nilai rata-rata. Penyimpangan baik ke kanan atau ke kiri yang jauh dari rata-rata, terjadinya semakin sedikit. Sehingga bila disusun maka akan terbentuk distribusi yang simetris. 

1.2. Rumusan Masalah 

1. Apa pengertian pengertian dari distribusi Normal dan Binominal? 
2. Apa sajan pengertian distribusi normal baku? 
3. Apa pengertian dari pendekatan distribusi normal untuk distribusi minominal 

1.3. Tujuan Penulisan 

1. Utuk mengetahuai pengertian distribusi normal dan binominal! 
2. Untuk mengetahui pengertian distribusi normal baku! 
3. Untuk mengetahui pengertian pendekatan distribusi normal dan distribusi binominal! 

BAB II 
PEMBAHASAN 

2.1 Distribusi Normal dan Binominal 
  • Distribusi Binomial 
Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala- ekor dll. 

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb: 

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal. 

2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan. 

3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya. 

4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu. 
  • Rumus Distribusi Binomial 
a). Rumus binomial suatu peristiwa 

Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan. Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan: 

dimana

b). Probabilitas binomial kumulatif 

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses. Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus: 

pbk
Contoh: 

Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut: 

a). Mata dadu 5 muncul 1 kali 
b). Mata dadu genap muncul 2 kali 
c). Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali. 

Penyelesaian: 

a). Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki probabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah 1/6, sehigga: 

kali

b). Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4, dan 6, sehingga: 

px

c). Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehngga: 

00
  • Distribusi Normal 
Distribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variable random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss. Distribusi Normal memiliki bentuk fungsi sebagai berikut: 

Keterangan: 

X = nilai data µ = rata-rata x 
π = 3,14 
e = 2,71828 
σ = Simpangan baku 

a). Karakteristik Distribusi Normal: 

Distribusi probabilitas normal dan kurva normal yangmenyertainya memiliki beberapa karakteristik sebagai berikut: 

1. Kurva normal berbentuk lonceng 
2. Simetris 
3. Asimtotis 3. Asimtotis 
  • Karakteristik Distribusi Kurva Normal 
kurva

1. Kurva berbentuk genta (µ= Md= Mo) 
2. Kurva berbentuk simetris 
3. Kurva normal berbentuk asimptotis 
4. Kurva mencapai puncak pada saat X= µ 
5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri. 
  • Jenis-Jnis Distribusi Normal 
kurva1

a). Distribusi kurva normal dengan µ sama dan σ berbeda 

kurva2

b). Distribusi kurva normal dengan µ berbeda dan σ sama 

kurva3

c). Distribusi kurva normal dengan µ dan σ berbeda 

Grafik kurva normal: 

kurva4
P(x≤µ) = 0,5 
P(x≥µ) = 0,5 Luas kurva normal: 

rumus1

Luas kurva normal antara x=a & x=b => probabilitas x terletak antara a dan b 

pp

2.2 Distribusi Normal Baku 

Distribusi normal standard (baku) adalah distribusi normal yang memiliki sifat khusus, yaitu distribusi dengan : rata-rata(µ) = nol(0) dan simpangan baku(σ) = satu(1). Distribusi normal standard (baku) muncul sebagai solusi dari adanya masalah dalam penyusunan tabel distribusi normal. Masalah tersebut ialah kenyataan bahwa terdapat banyak sekali macam distribusi normal dipengaruhi oleh nilai rata-rata dan simpangan baku nya. Oleh karena itu agar kita tetap dapat mencari probabilitas suatu interval dengan menggunakan langkah praktis melalui tabel distribusi normal daripada perhitungan metode integral yang lebih kompleks, maka digunakanlah apa yang disebut dengan distribusi normal standard (baku). 

Maka dari itu, seluruh pengamatan dengan setiap peubah acak normal X dapat ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru suatu peubah acak normal Z dengan rata-rata = nol dan simpangan baku = satu. Hal ini dapat dikerjakan dengan transformasi sebagai berikut: 

Keterangan: Z = angka baku/standard 

X = nilai data 
µ = rata-rata populasi 
σ = simpangan baku populasi 

Bentuk transformasi di atas memetakan distribusi normal menjadi distribusi normal standard (baku), sebab distribusi normal dengan variabel Z ini memiliki nilai rata-rata = nol dan simpangan baku = satu. Transformasi ini juga mempertahankan luas di bawah kurva distribusi normal nya. Artinya, Luas di bawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2 = Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2. Hal ini terjadi, karena bagaimanapun hanya nilai-nilai Z dari variabel-variabel yang berdistribusi normal yang akan dengan sendirinya berdistribusi normal sehingga transformasi dari Z tidak mengubah bentuk maupun luasnya. 

Selanjutnya, aspek dari distribusi normal yang tidak kalah penting nya adalah tabel distribusi normal standard. Table distribusi standard disusun untuk menghitung probabilitas nilai-nilai variable normal standard. Tabel distribusi normal standar dibuat hanya untuk menghitung bagian sebelah kanan rata-rata dari distribusi tersebut. Untuk menghitung nilai di sebelah kiri, maka nilai Z yang negatif dianggap sama dengan Z positif, sehingga tabel tersebut tetap bisa digunakan. Nilai-nilai probabilitas yang terdapat dalam tabel tersebut adalah nilai probabilitas antara μ = 0 dan satu nilai Z tertentu, bukan antara dua buah nilai Z sembarang. 
  • Pentingnya distribusi normal dalam statistika 
Satu-satunya distribusi probabilitas dengan variabel random kontinu adalah distribusi normal. Ada 2 peran yang penting dari distribusi normal: 

Memiliki beberapa sifat yang mungkin untuk digunakan sebagai patokan dalam mengambil suatu kesimpulan berdasarkan hasil sampel yang diperoleh. Pengukuran sampel digunakan untuk menafsirkan parameter populasi. 

Distribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris, sehingga dapat dikatakan bahwa semua kejadian alami akan membentuk distribusi ini. Karena alasan inilah sehingga distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal dan grafiknya dikenal sebagai kurva normal atau kurva gauss 
  • Ciri-ciri distribusi normal 
1. Distribusi normal mempunyai beberapa sifat dan ciri, yaitu: 
2. Disusun dari variable random kontinu 
3. Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak (uni-modal) 
4. Kurva berbentuk simetris dan menyerupai lonceng hingga mean, median dan modus terletak pada satu titik. 
5. Kurva normal dibentuk dengan N yang tak terhingga. 
6. Peristiwa yang dimiliki tetap independen. 
7. Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan 3 SD ke kanan dan ke kiri dari rata-rata dan ekor grafik dapat dikembangkan sampai tak terhingga tanpa menyentuh sumbu absis. 
  • Distibusi normal standar 
Suatu distribusi normal tidak hanya memiliki satu kurva, tetapi merupakan kumpulan kurva yang mempunyai ciri-ciri yang sama.sehingga harus ditentukan 1 pegangan sebagai distribusi normal yang standar. 

Ada 2 cara untuk menentukan distribusi normal: 

1. cara ordinat: 

Menggunakan rumus distribusi normal berikut: 

yy




µ = rata-rata 
σ = simpang baku 
π = 3,1416 (bilangan konstan) 
e = 2,7183 (bilangan konstan) 
X = absis dengan batas -∞ < X < π 

Bila nilai µ dan σ tetap maka setiap nilai x akan menghasilkan nlai y sehingga bila nilai x dimasukkan dalam perhitungan berkali-kali dengan julah tak terhingga maka akan dihasilkan suatu kurva distribusi normal. Terdapat banyak kurva normal dengan bentuk yang berlainan, tergantung dari besar dan kecilnya σ. 

a) Bila σ besar, kurva yang terbentuk mempunyai puncak yang rendah, sebaliknya bila σ kecil akan menghasilkan puncak kurva yang tinggi. 

b) Dapat pula bentuk kurva normal dengan µ yang berbeda atau dengan µ dan σ yang berbeda 

2. Cara luas 

Kurva normal adalah kurva yang simetris, yang berarti bahwa kurva ini akan membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang sama.Seluruh luas kurva = 1 atau 100% dan rata-rata (µ) membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang sama.Berarti luas tiap belahan adalah 50%. 

Setiap penyimpangan rata-rata dapat ditentukan presentase terhadap seluruh luas kurva. 

penyimpangan ke kanan dan ke kiri: 

-.penyimpangan 1 SD = 68,2% dari seluruh luas kurva. 
-.penyimpangan 2 SD = 95,5% dari seluruh luas kurva. 
-.penyimpangan 3 SD, = 99,7% dari seluruh luas kurva. 

Proses standarisasi dapat dilakukan dengan transformasi rumus (kurva normal standar) 
Z = x - µ 

x = nilai variable random 
µ = rata-rata distribusi 
σ = simpang baku 
Z = nilai standar, yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap rata-rata yang dinyatakan dari unit SD. 

1. Standarisasi penting dilakukan karena ada variabel random yang memiliki satuan yang berbeda-beda, seperti cm, kg, bulan. 

2. Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan sebuah table yang menunjukkan luas area di bawah kurva normal antara nilai rata-rata dan suatu nilai variable random yang dinyatakan dalam unit SD. 

Misalnya: luas 95% adalah 1,96 SD. 

Untuk transformasi distribusi normal menjadi distribusi normal standar dinyatakan µ = 0 dan σ = 1. 
  • Pengunaan Tabel Distribusi Normal 
Tabel distribusi normal standar terdiri dari kolom dan baris. 

Kolom paling kiri menunjukkan nilai Z, tertera angka 0 sampai 3 dengan satu desimal dibelakangnya. Desimal berikutnya terletak pada baris paling atas dengan angka dari 0 sampai 9. 

Misalnya dari hasil perhitungan diperoleh nilai Z = 1,96 

a) Maka di kolom kiri kita cari nilai1,9 dan baris atas kita cari angka 6 

b) Dari kolom 6 bergarak ke bawah, hingga pertemuan titik yang menunjukkan angka 0,4750. 

c) Berarti luas daerah di dalam kurva normal antara rata-rata dengan 1,96 SD ke kanan adalah 0,475. 

d) Karena luas kurva ke kanan dan ke kiri sama, maka luas penyimpangan 1,96 ke kanan dan ke kiri dari rata-rata adalah 0,95 (95%). 
  • Aplikasi distribusi normal 
Sebagai contoh aplikasi distribusi normal, dilakukan suatu evaluasi thd pengobatan TB  menggunakan Rifampicin dengan rata-rata kesimpulan 200 hari dan standar deviasinya sebesar 10. Berapakah probabilitas kesembuhan antara 190 dan 210? 

Jawab: 

Mula-mula dihitung nilai Z =210 

Z= (210-200)/10 = 1=0,3413 

jadi probabilitas kesembuhan 190 sampai 210 = 0,3413+0,3413=0,6826=68,26\ 

2.3 Pendekatan distribusi Normal dan Distribusi Binomial 

Bila n besar sekali, distribusi binomial dapat disesuaiakan sedemikan rupa sehingga dapat didekati dengan distribusi normal standar. Pada makalh ini akan di bahas betapa penyesuaian tersebut dapat dilakukan sehingga menghasilkan sebuah pendekatan yang sangat tepat sekali. Seperti telah kita ketahui, variable random X atau jumlah sukses dalam n percobaan binomial merupakan penjumlahan dari variable random n dimana tiap peubah acak (variate) dimaksudkan bagi setiap percobaan binomial dan tiap percobaan menghasilkan nilai 0 atau 1. 

Dalam keadaan yang biasa, jumlah dari beberapa variable random selalu mendekati distribusi normal, sehingga distribusi jmlah variable diatas dapat didekati dengan distribusi normal bila n makin menjadi besar. 

Batas distribusi binomial dapat di fahami secara berangsur-angsur dengan memperhatikan tiga hal pokok sebagai berikut: 

1. Distribusi binomial merupakan sebua distribusi yang diskrit sedangkan distribusi normal merupakan sebuah distribusi yang kontinu, sehingga probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat binomial perlu diganti dengan luas binomial karena luas selalu dipakai untuk menyatakan probabilitas dalam distribusi yang kontinu. 

2. Skala X perlu diganti dengan skala Z agar tidak terjadi proses “bergerak” dan “mendatar” bila n berangsur-angsur menjadi besar. 

3. Pendekatan secara normal terhadap probabilitas binomial dapat dilakukan dengan menghitung luas yang terdapat dibawah kurva normal. 

Jumlah probabilitas atau luas yang terdapat diantara kurva dan sumbu X adalah sama dengan 1. Hal demikian da[at dilihat pada diagram dibawah ini: 

kurva5

Probabilitas variable random X merupakannilai antara a dan b dan dapat dinyatakan sebagai daerah bergaris dari kurva diagram 10.3.1 diatas. Pada gambar diatas, p(X = a ) = 0 karena luas a dianggap sama dengan garis f(a) yang memiliki lebar sama dengan 0. Hal tersebut berbeda sekali dengan probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat distribusi yang diskrit sebab p(X = a) dimana a = 5 tidak usah sama dengan 0. 

Penerapan fungsi kontinu terhadap distribusi binomial dapat dilakukan dengan penggunaan luas untuk menyatakan probabilitas yang biasanya dinyatakan dengan ordinat. Tiap ordinat dari distribusi binomial diganti dengan luas empat persegi panjang yang berpusat pada X dan yang memiliki lebar sama dengan satu unit serta memiliki tinggi sama dengan ordinat binomial yang asal, untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada diagram dibawah ini 

grafik

Setiap perubahan pada variable random X akan mengakibatkan proses “bergerak”. Satu cara untuk membendung “gerakan” tersebut ialah dengan menciptakan sebuah variable baru, yaitu Y = X – np. 

Distribusi variable baru Y memiliki np = 0 dan cara pemusatanya tidak berbeda dari distribusi normal yang standar. Selain daripada itu, distribusi variable Y tersebut memiliki Oy = akar dari npq . Kita telah mengetahui bahwa distribusi normal yang standar memiliki Uz = 0 dan Oz = 1, sehingga variable random Y yang  memiliki µz= np = 0 dan σy =√npq masih perlu disesuaika agar σy nya sama dengan 1. 

Bila npq > 0, maka Y/ √npq akan menghasilkan variable random baru Z yang memiliki σy = 1seperti dalam halnya distribusi normal yang standar. 

dengan
1 sedangkan nilai-nilai tersebut masing-masing akan sama dengan µx dan σz dari distribusi normal yang standa. Bila n menjadi besar, ordinat-ordinat sentra (tinggai ordinat-ordinat) dari luas grafik probabilitas Z tidak akan mendatar. Karena µz = 0, maka proses “bergerak” tidak terjadi dank arena σz= 1, maka “perluasan” pun tidak terjadi . 

Pendekatan probabilitas binomial dengan luas yang terdapat dibawah kurva normal dapat dilakukan dengan bantuan Tabel normal. 

Contoh 10.3.1 Diketahui distribusi binomial memiliki n = 8 dan p = 1/2, sedangkan grafiknya dinyatakan seperti dalam diagram dibawah ini 

grafik2

Pendekatan distribusi binomial dngan distribusi normal dapat dilakukan sebagai berikut: 
np = 10 x 1/2= 5 
grafik3
Sesuai dengan rumus 10.3.1, kita peroleh persamaan hubungan antara X dan Z sebagai berikut: 

frafik4

BAB III 
PENUTUP 

3.1 Kesimpulan 

Berdasarkan pembahasan yang telah penyusun uraikan diatas, maka dapat disimpulkan bahwa distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Grafiknya disebut kurva normal terbentuk lonceng yang menggambarkan dengan cukup baik banyak gejala yang muncul di alam, industri, dan penelitian. Abraham de Moivre adalah yang pertama kali memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss. Sehingga nama lain distribusi ini adalah distribusi Gauss. 

3.2 Saran 

Dalam penulisan makalah ini kami meyadari bahwa masih banyak kekeliruan dan kesalahan dalam hal penulisan dan penyusunannya. Oleh karena itu, kami menantikan saran dan kritikan yang sifatnya membangun untuk perbaikan selanjutnya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca dan dapat menambah pustaka keilmuan mahasiswa. 

DAFTAR PUSTAKA 

0 Response to "Makalah Distribusi Normal dan Binominal "

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel