Statistik Ekonomi Lanjutan: Makalah Distribusi Peluang Teoritis


 DAFTAR ISI
BAB  I PENDAHULUAN
1.1  Latar Belakang…………………………………………………….……1
1.2  Rumusan Masalah……………………………………………………....2
1.3  Tujuan Penulisan………………………………………………….…….2

BAB II PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Variable Acak……………………………………………..….3
2.2 Beberapa Distribusi Peluang Teoritis….…………………………………5
2.3 Distribusi Peluang Diskrit………………………………………..............6
2.4 Distribusi Peluang Kontinu………………………………………………9

BAB II PENUTUP
3.1 Kesimpulan……………………………………………………………....13   
3.2 Saran……………………………………………………………………..13

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………….…...14


 KATA PENGANTAR

Om Swastyastu,
Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa (Ida Sang Hyang Widhi Wasa), karena atas asungkerta waranugrahanya tugas makalah ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya dalam rangka memenuhi tugas salah satu mata kuliah Statistik Ekonomi Lanjutan.
Untuk memenuhi persyaratan tersebut disusunlah makalah ini yang berjudul “Distribusi Peluang Teoritis” Dalam pembuatan makalah ini penulis menyadari betul terdapat banyak kesalahan dan kekeliruan maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran agar pembuatan makalah selanjutnya dapat di buat semaksimal mungkin.
Harapan dari penulis semoga penyusunan makalah ini, dapat memberikan manfaat bagi setiap orang yang membacanya. Jika pada makalah ini terdapat banyak kekurangan, maka dari itu kritik dan saran yang konstruktif sangat dibutuhkan demi terwujudnya kesempurnaan makalah ini.
Om Shanti Shanti Shanti Om

BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Peluang merupakan teori dasar dalam statistika yang memungkinkan terjadinya peristiwa dengan nilai peluang tertentu. Nilai-nilai peluang tambahan bisa membentuk suatu distribusi yang disebut distribusi peluang. Peluang atau kadang pula disebut dengan probabiltas merupakan suatu derajat kepastian untuk terjadinya suatu peristiwa dengan ukuran antara 0 sampai dengan 1, dimana peristiwa tersebut terjadi secara acak. Peluang bukan hanya digunakan dalam dunia statistik namun digunakan pula dalam bidang-bidang lain seperti fisika, biologi bahkan pula dalam dunia bisnis yang dapat digunakan untuk pengambilan keputusan.
Dalam statistika deskriptif dipelajari cara menyusun dan menentukan atau menghitung karateristik yang dimiliki oleh distribusi frekuensi, seperti rata-rata hitung, simpangan baku dan variansinya. Dalam makalah ini akan dipelajari distribusi peluang teoritis, menyusun dan menentukan atau menghitung rata-ratanya yang disebut rata-rata harapan (nilai harapan), menghitung simpangan baku dan variansinya. Untuk dapat memahami mengenai distribusi peluang teoritis, diperlukan pemahaman yang memadai mengenai teori peluang, kombinasi dan fungsi matematis. Dalam pembuatan makalah ini akan dibahas mengenai variabel acak, distribusi peluang teoritis, distribusi peluang variabel acak diskrit dan kontinu, serta harapan matematis.
Di kehidupan sehari-hari kerap kali ditemui berbagai macam model peluang.   Faktor   ketidakpastian   banyak   memiliki   model   peluang   yang menggambarkan suatu   akibat   yang  mungkin  terjadi  seandainya kondisi–kondisi tertentu terjadi. Distribusi peluang atau peluang teoritis merupakan suatu   model   peluang   yang   memungkinkan   untuk   mempelajari   hasil eksperimen random yang riil dan menduga hasil – hasil yang akan terjadi.
Distribusi   peluang   yang   demikian   merupakan   distribusi   populasi   karena berhubungan   dengan   semua   nilai–nilai   yang   mungkin   terjadi   dan populasinya merupakan variabel random.  Berdasarkan jenis variabelnya tergolong atas distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu. Distribusi peluang diskrit adalah suatu ruang contoh   yang   mengandung   jumlah   titik   contoh   yang   terhingga   sedangkan distribusi   peluang   kontinu   adalah   suatu   ruang   contoh   mengandung   tidak terhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah   garis.

1.2 Rumusan Masalah
1.          Apa pengertian variabel acak?
2.          Apa pengertian distribusi peluang teoritis?
3.          Apa pengertian distribusi peluang diskrit?
4.          Apa pengertian distribusi peluang kontinu nilai harapan?

1.3 Tujuan Penulisan
1.          Untuk mengetahui pengertian variabel acak
2.          Untuk mengetahui pengertian distribusi peluang diskrit
3.          Untuk mengetahui pengertian distribusi peluang kontinu nilai harapan

BAB II
PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Variabel Acak
            Variabel acak (random variabel) biasa ditandai dengan sebuah seperti X adalah variabel yang memiliki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas. Jadi X dapat bernilai berapapun tergantung pada keluaran yang mungkin dihasilkan dalam dari eksperimen. Jadi variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan.
Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit (hasil perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.
Untuk mudahnya ambil contoh peristiwa tentang seorang ibu yang melahirkan. Kita tahu hanya ada dua kemungkinan jenis kelamin dari peristiwa ini yakni Laki-laki (L) atau Perempuan (P). Jika peluangnya masing-masing untuk melahirkan L dan P adalah ½ , maka kita dapat menyusun ruang sample dari peristiwa ini sebagai berikut :

Contoh :
                        S = {L, P}

Untuk dua orang anak :

                        S = {LL, LP, PL, PP}

Untuk tiga orang anak :

                        S = {LLL, LLP, LPL,PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}

Untuk empat orang anak, bisa dibuat tabel sebagai berikut :

                                                   TABEL 1.

Jumlah L
Susunan
Titik Sampel
Peluang L
0
1
2
3
4
PPPP
LPPP, PLPP, PPLP, PPPL
LLPP,LPLP,LPPL, PLLP, PLPL, PPLL
LLLP, LLPL, LPLL, PLLL
LLLL
1
4
6
4
1
  1/16 = 0,0625
  4/16 = 0,25
  6/16 = 0,375
  4/16 = 0,25
  1/16 = 0,0625
Jumlah
16
1,00


Jika tabel di atas disusun kembali dalam  notasi variabel acak, maka akan diperoleh tabel yang memperlihatkan distribusi peluang variabel X seperti berikut :
X
P(X)
0
1
2
3
4
     0,0625
     0,25
     0,375
     0,25
     0,0625
     1,000

Sebuah distribusi peluang dikatakan sudah terbentuk, jika semua peluang dari setiap variabel acak berjumlah satu. Dengan terbentuknya distribusi peluang seperti tabel di atas, maka notasi baru untuk penulisan peluang kini dapat dituliskan menjadi P(X=0) = 0,0625 ; P(X=1) = 0,25 dan seterusnya.

                A. Variabel Acak Diskrit
Varibel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah, berhubungan dengan hasil sebuah peristiwa yang ruang sampelnya terhingga dan terhitung. Sedangkan distribusi peluangnya disebut distribusi peluang variabel acak diskrit. Umumnya variabel diskrit berhubungan dengan pencacahan terhadap suatu objek atau indvidu. Contoh lihat tabel 1 di atas. Kita tidak mungkin mengatakan jumlah laki-laki = ½. atau ¼ .
Beberapa contoh variabel diskrit :
  1. Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dalam pelemparan sebuah  koin (uang logam).
  2. Jumlah anak dalam sebuah keluarga.
  3. Jumlah kesalahan pengetikan
  4. Jumlah kendaraan yang melewati persimpangan jalan
  5. Jumlah kecelakaan per minggu
b               B. Variabel Acak Kontinu
Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan. Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.
Variabel acak kontinu, didefinisikan sebagai suatu variabel yang nilai-nilainya berada dalam ruang sample takterhingga. Variabel ini bisa mempunyai sebuah harga dimana harga-harga x dibatasi oleh -¥ < X < ¥. Variabel acak kontinu dapat diilustrasikan sebagai titik-titik dalam sebuah garis.     
Pengukuran fisik seperti waktu atau panjang merupakan contoh yang paling mudah dipahami untuk variabel acak kontinu ini. Misalkan para buruh di sebuah wilayah akan diukur tinggi badannya. Jika kita menggunakan meteran dengan ketelitian sentimeter, maka tinggi setiap orang bisa kita anggap sebagai titik dalam meteran tersebut. Dengan demikian setiap ukuran X akan berhubungan titik-titik yang jumlahnya sangat banyak atau takterhingga.
Beberapa Contoh variable acak kontinu :
  1. Usia penduduk suatu daerah.
  2. Panjang beberpa helai kain. 
2.2 Distribusi Peluang Teoritis
            Distribusi peluang teroritis adalah suatu daftar atau rumus yang mencamtumkan semua kemungkinan nilai suatu variabel acak beserta peluangnya. Variable acak adalah peristiwa yang diharapkan akan terjadi, yang biasanya dilambangkan dengan X. Atau, suatu bilangan yang ditentukan oleh peristiwa yang dihasilkan dari eksperimen. Distribusi peluang teoritis didefinisikan dengan suatu fungsi peluang, dinotasikan dengan p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak.

Contoh :
Pada percobaan melambungkan tiga koin secara bersamaan. Ruang sampel S={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Diambil X= variabel acak yang menyatakan jumlah sisi gambar yang muncul. Nilai X yang mungkin terjadi adalah 0,1,2,3.

X= 0
X=1
X=2
X=3
AAA
GGA
GAA
GGG
GAG
AGA
AGG
AAG
1
3
3
1


      AMacam-macam Distribusi Peluang
Distribusi peluang juga dibedakan menjadi dua, yaitu distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu.
1.      Distribusi peluang diskrit terdiri atas distribusi binomial, distribusi binomial negatif, distribusi geometrik, distribusi hipergeometrik, dan distribusi poison.
2.      Distribusi peluang kontinu terdiri atas distribusi seragam, distribusi eksponensial, distribusi weibull, distribusi tipe beta, dan distribusi normal.

2.3 Distribusi Peluang Diskrit
Distribusi Peluang Diskrit Distribusi peluang diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang memuat semua kemungkinan nilai suatu variabel acak diskrit beserta peluangnya.
Contoh : Sebuah percobaan, tiga keping uang logam dilantunkan sekaligus. Bila munculnya sisi gambar (G) yang diharapkan, tentukanlah variabel acaknya. Buatlah distribusi peluang serta grafik distribusi peluangnya
Penyelesaian : Tabel 3.1 Titik Sampel dan Peluang Hasil Pelantunan Tiga Uang Logam
PELUANG














a). Variabel acak:
Bilangan-bilangan 0, 1, 2 dan 3 yang mungkin muncul dari hasil per-cobaan itu (pada kolom 2, Tabel 3.1) disebut variabel acak diskrit.

b). Distribusi Peluangnya:
Berdasarkan Tabel 3.1 bila dibuat distribusi peluangnya, bentuknya sebagai berikut : Tabel 3.2 Distribusi Peluang Sisi Gambar Hasil Pelantunan Tiga Keping Uang Logam (Koin)

SISI
  • Fungsi Peluang Diskrit
Fungsi peluang dari variabel acak X adalah fungsi f yang harganya bagi setiap bilangan riil diberikan oleh:
f(x) = P(X = x)
Dengan f(x)   0 dan f(x) = 1


Dari percobaan pelantunan 3 uang logam pada Contoh 3.1, diperoleh nilai f(x) = P(X = x) sebagai berikut,
f(0) = P(X = 0) = 1/8
f(1) = P(X = 1) = 3/8
f(2) = P(X = 2) = 3/8
f(3) = P(X = 3) = 1/8
åf(x) = åf(X = x) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 3/8 = 8/8 = 1
  •   Rata-rata Hitung, Variansi dan Simpangan Baku
Rata-rata (m) dari distribusi probabilitas adalah nilai harapan dari variabel acaknya.
Nilai harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil.
Nilai harapan diperoleh dengan menyatakan setiap kemungkinan hasil x dengan probabilitasnya P(X) dan kemudian menjumlahkan hasil perkalian tersebut.
Nilai harapan dari variabel acak diskrit X yang dinotasikan dengan E(X) dirumuskan sebagai berikut.
                          = x1 p(x1) + x2 p(x2) + ….+ xN p(xN)
dimana.
             xi = nilai ke-I dari variabel acak X
         p(xi) = probabilitas terjadinya xi
  •   Varians
Varians (s2) dari variabel acak diskrit didefinisikan sebagai berikut. Varians dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisih antara kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangnya adalah probabilitas dari masing-masing hasil tersebut. Varians  diperoleh  dengan  mengalikan setiap kemungkinan kuadrat selisih (x - m)2 dengan probabilitasnya p(xi) dan kemudian menjumlahkan seluruh hasil perkalian tersebut. Sehingga varians dinyatakan sebagai berikut dimana:
          xi = nilai ke-I dari variable acak X
      p(xi) = probabilitas terjadinya xi
Standar deviasi s diperoleh dengan menarik akar dari s2.

Contoh :
Menurut pengalaman seorang pedagang bawang putih dan berdasarkan catatannya selama bertahun-tahun, ia akan mendapat keuntungan paling banyak Rp 400 ribu atau akan rugi paling banyak Rp 100 ribu per kwintal dengan peluang sebagai berikut :

Keuntungan (Ribu Rp/kw)
400
240
200
150
0
- 40
- 100
Peluang P(x)
0,50
0,10
0,15
0,30
0,10
0,20
0,10

Pada saat ini ia memiliki 2 ton bawang putih. Tentukanlah ekspektasi keuntungan (keuntungan yang dapat diharapkan) (a) Untuk tiap kwintal bawang putih. (b) Seluruhnya (penjualan seluruh bawang putihnya).

Penyelesaian (a) Ekspektasi keuntungan per kwintal bawang putih
p(x1 ) = 0,05               x1 = 400
p(x2 ) = 0,10               x2 = 240
p(x3 ) = 0,15               x3 = 200
p(x4 ) = 0,30               x4 = 150
p(x5 ) = 0,10               x5 = 0
p(x6 ) = 0,20               x6 = - 40 (rugi)
p(x7 ) = 0,10               x7 = -100(rugi)
E(X) = mx = x1 .p(x1 ) + x2 .p(x2 ) + x3 .p(x3 ) + . . . + x7 .p(x7 )
     = (400)(0,05)+(240)(0,10)+(200)(0,15)+(150)(0,30)+ (0)(0,10) - (40)(0,20) -            (100)(0,10) = 101.000
Jadi, keuntungan per kwintal bawang putih yang dapat diharapkan adalah sebesar Rp 101.000,00

Penyelesaian (b) Ekspektasi keuntungan seluruhnya 2 ton = 20 kwintal
Jadi, ekspektasi keuntungan seluruhnya = 20 x Rp 101.000,00
   = Rp 2.020.000,00

2.4 Distribusi Peluang Kontinu Nilai harapan
Distribusi peluang kontinu adalah perubahan acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila:
1.      F(x) ≥ 0 untuk semua x є R
2.      ∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
3.      𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫∞ 𝑓(𝑥)𝑑x
  • Nilai Harapan
Nilai harapan yang dibahas adalah nilai harapan XX2dan (X–E(X))2.
Nilai harapan X merupakan 
rata-rata (mean) dan nilai harapan (X – E (X))2 merupakan varian.

harapan n


rumus x2

nilai harapan

  •   Nilai Harapan dari Fungsi Probabilitas Bersama

Jika fungsi probabilitas bersama dinotasikan dengan p(x, y) untuk variabel acak X dan Y, maka nilai harapan dari variabel acak h(x, y) yang merupakan fungsi dari X dan Y adalah sebagai berikut.
            E[h(x, y)] = SSh9x, y) p(x, y)
Dimana.
            h(x, y) adalah sembarang fungsi dari X dan Y
            p(x, y) adalah probabilitas terjadinya X dan Y secara bersama-sama.
Kalau h(x, y) = xy, maka
          E[h(x, y)] = E(XY) = SSxy p(x, y)
Kalau h(x, y) = x + y, maka
          E[h(x, y)] = e(X + Y) = SS(x + y) p(x, y)
  •   Aturan-aturan dalam Menghitung Nilai Harapan.
1.    E(k) = k, k = bilangan konstan.
2.    Varians (k) = 0 dan varians (X)s2
3.    E(kX) = k E(X)
4.    Varians (kX) = k2s2
5.    E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)
E(S Xi) = SE(Xi)                 i = 1, 2, …, n
E(Ski Xi) = S ki E(Xi)          i = 1, 2, …, n   
o   Sifat – sifat nilai harapan
  1. Misalkan c adalah suatu konstanta, maka E(c) = c
  2. Misalkan g(X) adalah fungsi dari peubah acak X dan c adalah suatu konstanta, maka
a.       E[cg(X)] = cE[g(X)]
  1. Misalkan g1(X), g2(X), ..., gk(X) adalah k fungsi dari peubah acak X, maka
a.       E[g1(X) + g2(X) + ...+ gk(X)] = E[g1(X)] + E[g2(X)] +           ...+ E[gk(X)]
  1. Var (X) = E[(X-µ)2] = E(X2) - m2
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Distribusi peluang diskrit adalah suatu ruang contoh yang mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah).  Syarat  dari  distribusi  diskrit  adalah apabila  himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan  suatu  fungsi  peluang atau  distribusi  peluang  peubah  acak  diskrit  x bila, untuk  setiap  kemungkinan hasil x
1.  f(x) > 0
2.  f ( x) = 1
3.  P (X=x) = f(x)
Distribusi peluang kontinu adalah suatu ruang contoh mengandung tak terhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis. Syarat  dari  distribusi  kontinu  adalah  apabila  fungsi  f(x)  adalah
fungsi  padat  peluang  peubah  acak  kontinu  Xt  yang  didefinisikan  diatas himpunan semua bilangan real Rt bila:
1. F(x) > 0 untuk semua x € R 15
2. òf ( x)dx = 1
3. P(a<X<b) =   òf (x) dx
3.2 Saran
Demikian   makalah   yang   kami   buat,   semoga   dapat   bermanfaat   bagi pembaca.   Apabila   ada   saran   dan   kritik   yang   ingin   di   sampaikan,   silahkan sampaikan   kepada   kami.   Apabila   ada   terdapat   kesalahan   mohon   dapat memaafkan dan memakluminya. Selain itu penulis sampaikan kepada pembaca agar tidak merasa cepat puas dengan materi yang ada karena masih banyak cara yang bisa di jadikan media belajar dan penambahan wawasan.

DAFTAR PUSTAKA



0 Response to "Statistik Ekonomi Lanjutan: Makalah Distribusi Peluang Teoritis"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel