Statistik Ekonomi Lanjutan: Makalah Distribusi Binominal, Paisson dan Normal
Friday, October 5, 2018
Add Comment
DAFTAR
ISI
BAB
I PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang…………………….……………………...………….…..1
1.2 Rumusan
Masalah……………….……………………………..…….….1
1.3 Tujuan
Penulisan………………….……………………………..….…...1
BAB
II PEMBAHASAN
2.1 Distribusi Binominal……………………………………………………….2
2.2 Distribusi Paisson……………………………………………...………….5
2.3 Distribusi Normal……………………………………………….………….9
BAB
III PENUTUP
3.1 Kesimpulan………………………………………………………………..12
3.2 Saran…………………………………………………………………...….12
DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………..….13
KATA PENGANTAR
Om Swastyastu,
Puji
syukur kehadapan Tuhan Yang
Maha Esa (Ida Sang Hyang Widhi Wasa), karena atas asungkerta waranugrahanya
tugas makalah ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya dalam rangka memenuhi
tugas salah satu mata kuliah Statistik
Ekonomi Lanjutan.
Untuk memenuhi persyaratan tersebut disusunlah makalah
ini yang berjudul “Distribusi Binominal, Paisson dan Normal” Dalam pembuatan makalah ini penulis
menyadari betul terdapat banyak kesalahan dan kekeliruan maka dari itu penulis
mengharapkan kritik dan saran agar pembuatan makalah selanjutnya dapat di buat
semaksimal mungkin.
Harapan dari
penulis semoga penyusunan makalah ini, dapat memberikan manfaat bagi setiap
orang yang membacanya. Jika pada makalah ini terdapat banyak kekurangan, maka
dari itu kritik dan saran yang konstruktif sangat dibutuhkan demi terwujudnya
kesempurnaan makalah ini.
Om Shanti Shanti Shanti Om
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,
mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.
Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika
pada suatu data.
Kejadian yang sering atau jarang terjadi dikatakan mempunyai peluang
terjadi yang besar atau kecil. Keseluruhan nilai-nilai peluang biasa digunakan
dalam kehidupan sehari-hari. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap
permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari
mempelajari populasi.
Dalam makalah ini akan
dibahas empat distribusi peluang teoritis yang banyak diterapkan dalam bidang
ekonomi dan bisnis, serta di bidang lainnya. Tiga distribusi peluang diskrit
yaitu distribusi binomial, poisson dan distribusi hypergeometrik, dan satu
distribusi peluang kontinu, yaitu distribusi normal. Teori himpunan dan
perhitungan kombinasi merupakan landasan bagi distribusi binomial maupun
distribusi poisson.
1.2 Rumusan
Masalah
1. Apa pengertian distribusi
binomial?
2. Apa pengertian distribusi
poisson?
3. Apa pengertian
distribusi normal?
1.3 Tujuan
Penulisan
1. Untuk mengetahui pengertian distribusi
binomial?
2. Untuk mengetahui pengertian distribusi
poisson?
3. Untuk mengetahui pengertian distribusi normal?
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Distribusi Binomial
Distribusi
binomial merupakan salah satu model distribusi peluang untuk variabel acak
diskrit. Koefisien Binomial menunjukkan peluang kejadian yang diharapkan
(kejadian sukses) dari sejumlah n percobaan. Distribusi binomial juga disebut
sebagai percobaan atau proses dari Bernoulli, karena James Bernoulli seorang
ahli matematika Swiss (1645 - 1705) sangat berjasa bagi pengembangan penggunaan
distribusi binomial.
A. Ciri-ciri Percobaan
Binomial
Suatu
percobaan binomial adalah suatu percobaan yang memiliki ciri-ciri sebagai
berikut;
1
Percobaan terdiri atas n percobaan yang identik
2
Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yang mungkin yaitu “sukses” dan “
gagal “.
3
Peluang keberhasilan (sukses) percobaan tunggal sama dengan p, dan tetap sama
untuk setiap percobaan. Peluang kegagalan (q) yaitu q = 1- p
4 Percobaan – percobaan bersifat independen
5. Si pencoba ingin menyelidiki x, yaitu jumlah keberhasilan (sukses) yang
diamati selama n percobaan
B. Peluang
Kejadian Distribusi Binomial
Peluang
kejadian sukses (yang diharapkan) sebanyak x kali dari n percobaan, menurut
Bernoulli dirumuskan sebagai berikut :
P(X)
= peluang kejadian x sukses (kejadian yang diharapkan)
X = banyaknya kejadian sukses (kejadian
yang diharapkan)
n = banyaknya percobaan/banyaknya seluruh
kejadian
C. Rata-rata
Hitung, Variansi dan Simpangan Baku Distribusi Binomial
Rata-rata
hitung, variansii dan simpangan baku suatu variabel acak distribusi peluang
binomial, berturut-turut dapat dihitung dengan rumus-rumus berikut:
Contoh 4- 1
Sebuah mata uang logam (koin) dilantunkan sebanyak 5 kali Pertanyaan
(a) Berapa
peluang munculnya tiga sisi gambar?
(b) Berapa
rata-rata muncul sisi gambarnya?
(c) Berapa
variansi dan simpangan bakunya?
Penyelesaian
Misalkan x =
kejadian munculnya sisi gambar
n
= 5
p
= 0,5
( a)
Munculnya tiga sisi
gambar, ini berarti x = 3
Jadi, peluang munculnya tiga (3) sisi gambar adalah 0,3125 atau 31,25%
( b)
m
= . . . ?
m
= n p
= 5(0,5) = 2,5
Jadi,
rata - rata muncul sisi gambarnya = 2,5 kali
( c)
s
= . . . ?
Jadi,
simpangan baku muncul sisi gambarnya = 1,118 kali
2.2 Distribusi Poisson
Distribusi
poisson sering muncul dalam literatur ekonomi dan bisnis, oleh karena banyak
diterapkan dalam bidang ini, misalnya saja; kuantitas panggilan telepon yang
diterima oleh operator telepon selama suatu periode waktu pendek tertentu,
jumlah klaim terhadap sebuah perusahaan asuransi selama satu minggu tertentu,
banyaknya kecelakaan di perempatan jalan pada periode waktu tertentu.
Kejadian
sejenis itu, yaitu kejadian yangjarang diamati (terjadi) dalam satuan waktu
yang singkat atau ruang atau luas yang kecil dapat dipertimbangkan sebagai
variabel acak poisson. Untuk menghitung peluang kejadian sedemikian itu dapat
dipakai model atau rumus untuk distribusi poisson. Dengan kata lain distribusi
poisson digunakan untuk menghitung peluang suatu kejadian yang jarang tertjadi
dalam interval waktu yang singkat dan dalam luas (area) atau ruang yang kecil
A. Ciri-ciri/karakteristik
dari Percobaan Poisson
Percobaan
poisson memiliki beberapa karakteristik (Walpole,1982) antara lain: 1 Banyaknya
hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah
tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada
selang waktu atau daerah lain yang terpisah. 2 Peluang terjadinya satu hasil
percobaan selama suatu selang yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang
kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah
tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di
luar selang waktu atau daerah tersebut. 3 Peluang bahwa lebih dari satu hasil
percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam
daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan.
B. Peluang
Kejadian Distribusi Poisso
Peluang kejadian
x sukses dalam selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil,
dirumuskan sebagai berikut :
P(x)
= peluang terjadinya x
kejadian sukses
x
= jumlah
kejadian yang diharapkan sukses
m
=
rata-rata hitung
e
=
bilangan Napier atau bilangan Euler (e = 2,71828)
Contoh 4-4 Kebangkrutan bank di suatu negara yang disebabkan oleh kesulitan keuangan terjadi rata-rata 4 bank setiap tahun. Berapa peluang paling sedikit 3 bank bangkrut pada suatu tahun tertentu?
Penyelesaian
Petunjuk:
Untuk mempermudah perhitungan nilai dari e -m
, Misalnya, e -2
= 0,1353; e -2,1
= 0,1225; e -2,4
= 0,1177; e -3
= 0,0498; e -4
= 0,0183
Misalkan
x = kejadian jumlah bank yang bangkrut m
= 4 ®
e -4
= 0,0183
Paling
sedikit 3 bank bangkrut, berarti x ³
3
Maka,
P(X
³
3 ) = 1 - 0,0183 - 0,0732 - 0,1464
= 0,7621
Jadi, peluang bahwa paling sedikit 3 bank bangkrut
pada suatu tahun tertentu adalah 0,07621 atau 76,21%
C. Pendekatan Poisson Terhadap Distribusi Binomial
Dalam keadaan tertentu, sebaran poisson
dapat juga dipakai sebagai pendekatan sebaran binomial. Kapan sebaran poisson
dapat digunakan untuk menghampiri sebaran binomial? Para statistikawan belum
ada kata sepakat mengenai hal ini. Black (2011) menyatakan bahwa bila n> 20
dan np ≤ 7, sebaran poisson dapat digunakan untuk menghampiri sebaran binomial.
Sementara itu, Berenson dan Levine
(1996), mengemukakan suatu ukuran yang lebih tegas yaitu sebaran poisson dapat
digunakan sebagai pendekatan sebaran binomial bila n ³
20 dan p ≤ 0,05.
Berkaitan dengan distribusi Poisson sebagai pendekatan dari distribusi
Binomial, maka rata-ratanya dihitung per rumus 4.5 . Sementara variansi dan
simpangan baku dari suatu variabel acak distribusi peluang Poisson, besarnya
masing-masing dihitung dengan rumus 4.6 dan rumus 4.7
Contoh 4-6
Sebuah hotel diiklankan disebuah koran terbitan lokal untuk dijual. Pembaca
koran tersebut ditaksir 100.000 orang dan peluang seorang pembaca akan
memperhatikan iklan tadi 0,00003.
Pertanyaan:
(a)
Berapa pembaca diharapkan akan memperhatikan iklan tersebut?
(b)
Berapa peluang hanya seorang pembaca yang memperhatikan iklan tersebut?
(c)
Berapa peluang bahwa yang memperhatikan iklan tersebut tidak kurang dari 5 tapi
tidak lebih dari 7 orang pembaca?
Penyelesaian
n
= 100.000 dan p = 0,00003
Misalkan
x = banyak orang yang membaca iklan tersebut
Sesungguhnya
ini merupakan percobaan binom, oleh karena n besar (n = 100.000>20) dan p
sangat kecil (p = 0,00003<0,05), maka
digunakan distribusi paisson sebagai pendekatan distribusi Binominal.
( a) m
= E(X) = . . . ?
m
= E(X) = np = 100.000 (0,00003) = 3
Jadi,
banyaknya orang yang diharapkan akan membaca iklan tersebut adalah 3 orang
(
b) Hanya seorang pembaca, ini berarti x = 1, dan P(1) = . . . ?
b) Hanya seorang pembaca, ini berarti x = 1, dan P(1) = . . . ?
Jadi, peluang bahwa hanya satu orang pembaca akan memperhatikan iklan tersebut adalah 14,94%
(
c) Jumlah orang yang membaca iklan tersebut tidak kurang dari 5 orang tapi tidak lebih dari 7 orang, ini artinya (5 ≥ X ≤ 7)
c) Jumlah orang yang membaca iklan tersebut tidak kurang dari 5 orang tapi tidak lebih dari 7 orang, ini artinya (5 ≥ X ≤ 7)
P(5 ≥ X ≤ 7) = . . . ?
Jadi,
peluang bahwa yang membaca iklan tersebut tidak kurang dari 5 orang tapi tidak
lebih dari 7 orang adalah
0,1728 atau 17,28%.
2.3 Distribusi Normal
Distribusi
peluang kontinu yang paling penting dalam bidang statistik adalah distribusi
peluang normal atau yang disingkat dengan “distribusi normal” saja. Banyak ahli
matematika berusaha untuk mengembangkannya. Diantaranya Carl F. Gauss
(1777-1885), seorang ahli matematika, fisika dan astronomi berkebangsaan
Jerman, sehingga sebagai penghargaan terhadap Gauss, distribusi normal juga
disebut distribusi Gauss
A. Fungsi Kepekatan
Distribusi Normal
Distribusi
peluang normal memiliki fungsi kepekatan sebagai berikut:


p
= bilangan konstan (p = 3,14159)
e
= bilangan Euler (e = 2,71828)
m
= rata-rata hitung
s
= simpangan baku/standar deviasi
X
= variabel acak kontinu
B. Ciri-ciri Distribusi
Normal
Suatu
distribusi normal (populasi) memiliki ciri–ciri sebagai berikut :
(1)
Grafiknya selalu di atas sumbu X. Grafiknya merupakan garis lengkung yang
halus, dan bentuknya seperti genta.
(2)
Grafiknya simetris terhadap, x = m.
(3)
Mempunyai satu modus yaitu nilai terbesar untuk f(X) di x = m.
(4)
Grafiknya mendekati sumbu datar X, mulai pada x = m
+ 3s
dan x = m - 3s.
(5)
Luas daerah di bawah lengkung kurva (dan di atas sumbu X) dari -
sampai
+
sama dengan 1 bagian luas daerah


C . Hubungan Luas Daerah dengan Peluang Suatu Kejadian
Luas daerah di bawah lengkungan kurva normal dengan batas-batas nilai X tertentu, menunjukkan besarnya peluang bagi variabel acak kontinu X, pada batas-batas tertentu tersebut. Untuk menghitung luas daerah di bawah lengkungan kurva dengan batas-batas nilai X tertentu dapat dipakai rumus integral tertentu. Maka dari itu, berdasarkan fungsi kepekatan sebaran normal, peluang variabel acak kontinu X, dengan batas-batas x = a (batas bawah) dan x = b (batas atas) dapat dihitung dengan rumus
Dengan
rumus ini, tentu saja perhitungan
peluang distribusi normal akan menjadi rumit. Untuk mempermudah perhitungannya,
maka distribusi normal diubah terlebih dahulu menjadi distribusi normal baku.
D. Distribusi Normal Baku
Distribusi normal baku adalah distribusi normal dengan
nilai rata-rata sama dengan nol (m = 0) dan simpangan baku sama dengan satu (s = 1)
E. Membakukan Distribusi
Normal
Distribusi
normal/sebaran normal yang memakai skala X dapat dibakukan/ dirubah ke dalam
bentuk distribusi normal baku (menggunakan sekala Z) dengan jalan merubah
variabel acak X menjadi variabel acak Z, dengan rumus.

dengan,
X
= variabel acak kontinu tertentu (yang dipilih)
m
= rata-rata distribusi variabel acak kontinu
s
= simpangan baku distribusi variabel acak kontinu
Z
= variabel acak baku yang merupakan padanan dari variabel acak X kontinu yang
dipilih
Nilai Z.
Berdasarkan rumusdi atas,
nilai z adalah jarak antara nilai variabel kontinu X tertentu, terhadap
rata-rata hitung populasi m,
dibagi oleh simpangan baku/standar deviasi populasi, s.
Dengan kata lain, nilai z mengukur jarak antara nilai X tertentu terhadap
rata-ratanya yang dinyatakan dalam satuan simpangan bakunya
BAB III
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa distribusi
binominal merupakan salah satu model distribusi peluang
untuk variabel acak diskrit. Koefisien Binomial menunjukkan peluang kejadian
yang diharapkan (kejadian sukses) dari sejumlah n percobaan. Misalkan
untuk memperkirakan apakah peluang lebih banyak gagal atatu sukses dari
sebuah usaha. Distribusi binomial merupakan suatu performans dari suatu
percobaan, percobaan tersebut hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “ sukses”
atau “gagal”. Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau
percobaan Bernoulli ( Bernoulli Trial).
.
3.2 Saran
Sekian isi
makalah yang kami buat tentang distribusi binominal, paison dan distribusi
normal. Semoga dengan makalah yang kami buat dapat bermanfaat bagi kita semua. Dalam pembuatan makalah ini kami menyadari betul masih terdapat
banyak kesalahan dan kekeliruan maka dari itu penulis mengharapkan kritk dan
saran yang membangun kepada pembaca. Selai itu penulis sampaikan kepada pembaca
agar tidak erasa cepat puas dengan materi yang ada karena masih banyak cara
yang bisa di jadikan media belajar dan penambahan wawasan
DAFTAR PUSAKA
Aczel,
Amir d., dan Jayavel Sounderpandian. Complete Business Statitistics. Ed. ke-5.
New York : Mc Graw-Hill, 2002.
Anto
Dayan. Pengantar Metode Statistik. Jilid II. Jakarta : LP3ES, 1974. Barrow,
M.
Statistic for Economics, Accounting and Bussiness Studies. Ed. ke-2. London:
Addison Wesley Longman Limited, 1996.
Berenson,
Markl., dan David M. Levine. Basic Business Statistics: Concepts and
Applications. Ed.ke- 6. New Jersey : Prentice Hall Inc.,1996.
Black,
Ken. Applied Business Statistics: Making Better Business Decisions. Ed. ke-6.
New York : John Wiley, 2011.
Dixon,
W. J., dan F.J. Massey, Jr. Introduction to Statisdtical Analysis. Ed. Ke4. New
York : Mc Graw-Hill, 1984.
Elifson,
K. W., R. P. Runyon dan A. Haber. Fundamental of Social Statistics. Ed. Ke-2.
SIngapore : McGraw-Hill, 1990.
0 Response to "Statistik Ekonomi Lanjutan: Makalah Distribusi Binominal, Paisson dan Normal"
Post a Comment