Statistik Ekonomi Lanjutan: Makalah Distribusi Binominal, Paisson dan Normal

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang…………………….……………………...………….…..1

1.2  Rumusan Masalah……………….……………………………..…….….1

1.3  Tujuan Penulisan………………….……………………………..….…...1

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Distribusi Binominal……………………………………………………….2

2.2 Distribusi Paisson……………………………………………...………….5

2.3 Distribusi Normal……………………………………………….………….9

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan………………………………………………………………..12

3.2 Saran…………………………………………………………………...….12

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………..….13

KATA PENGANTAR

Om Swastyastu,

Puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa (Ida Sang Hyang Widhi Wasa), karena atas asungkerta waranugrahanya tugas makalah ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya dalam rangka memenuhi tugas salah satu mata kuliah Statistik Ekonomi Lanjutan.

Untuk memenuhi persyaratan tersebut disusunlah makalah ini yang berjudul “Distribusi Binominal, Paisson dan Normal” Dalam pembuatan makalah ini penulis menyadari betul terdapat banyak kesalahan dan kekeliruan maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran agar pembuatan makalah selanjutnya dapat di buat semaksimal mungkin.

Harapan dari penulis semoga penyusunan makalah ini, dapat memberikan manfaat bagi setiap orang yang membacanya. Jika pada makalah ini terdapat banyak kekurangan, maka dari itu kritik dan saran yang konstruktif sangat dibutuhkan demi terwujudnya kesempurnaan makalah ini.

Om Shanti Shanti Shanti Om

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.

Kejadian yang sering atau jarang terjadi dikatakan mempunyai peluang terjadi yang besar atau kecil. Keseluruhan nilai-nilai peluang biasa digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi.

Dalam makalah ini akan dibahas empat distribusi peluang teoritis yang banyak diterapkan dalam bidang ekonomi dan bisnis, serta di bidang lainnya. Tiga distribusi peluang diskrit yaitu distribusi binomial, poisson dan distribusi hypergeometrik, dan satu distribusi peluang kontinu, yaitu distribusi normal. Teori himpunan dan perhitungan kombinasi merupakan landasan bagi distribusi binomial maupun distribusi poisson.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa pengertian distribusi binomial?

2. Apa pengertian distribusi poisson?

3. Apa pengertian  distribusi normal?

1.3 Tujuan Penulisan

1. Untuk mengetahui pengertian distribusi binomial?

2. Untuk mengetahui pengertian distribusi poisson?

3. Untuk mengetahui pengertian  distribusi normal?

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Distribusi Binomial

Distribusi binomial merupakan salah satu model distribusi peluang untuk variabel acak diskrit. Koefisien Binomial menunjukkan peluang kejadian yang diharapkan (kejadian sukses) dari sejumlah n percobaan. Distribusi binomial juga disebut sebagai percobaan atau proses dari Bernoulli, karena James Bernoulli seorang ahli matematika Swiss (1645 - 1705) sangat berjasa bagi pengembangan penggunaan distribusi binomial.

    A. Ciri-ciri Percobaan Binomial

Suatu percobaan binomial adalah suatu percobaan yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut;

1 Percobaan terdiri atas n percobaan yang identik

2 Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yang mungkin yaitu “sukses” dan “ gagal “.

3 Peluang keberhasilan (sukses) percobaan tunggal sama dengan p, dan tetap sama untuk setiap percobaan. Peluang kegagalan (q) yaitu q = 1- p

4 Percobaan – percobaan bersifat independen 

5. Si pencoba ingin menyelidiki x, yaitu jumlah keberhasilan (sukses) yang diamati selama n percobaan

    B.  Peluang Kejadian Distribusi Binomial

Peluang kejadian sukses (yang diharapkan) sebanyak x kali dari n percobaan, menurut Bernoulli dirumuskan sebagai berikut :

P(X) = peluang kejadian x sukses (kejadian yang diharapkan)

 X      = banyaknya kejadian sukses (kejadian yang diharapkan)

 n     = banyaknya percobaan/banyaknya seluruh kejadian

= koefisien binomial, menunjukkan x kali sukses dari n percobaan

   C. Rata-rata Hitung, Variansi dan Simpangan Baku Distribusi Binomial

Rata-rata hitung, variansii dan simpangan baku suatu variabel acak distribusi peluang binomial, berturut-turut dapat dihitung dengan rumus-rumus berikut:

Contoh 4- 1 Sebuah mata uang logam (koin) dilantunkan sebanyak 5 kali Pertanyaan

(a) Berapa peluang munculnya tiga sisi gambar?

(b) Berapa rata-rata muncul sisi gambarnya?

(c) Berapa variansi dan simpangan bakunya?

Penyelesaian

Misalkan x = kejadian munculnya sisi gambar

n = 5

p = 0,5

(  a)    Munculnya tiga sisi gambar, ini berarti x = 3

Jadi, peluang munculnya tiga (3) sisi gambar adalah 0,3125 atau 31,25%

(      b)    m = . . . ?

       m = n p

          = 5(0,5) = 2,5

Jadi, rata - rata muncul sisi gambarnya = 2,5 kali

(      c)    s = . . . ?

Jadi, simpangan baku muncul sisi gambarnya = 1,118 kali

2.2 Distribusi Poisson

Distribusi poisson sering muncul dalam literatur ekonomi dan bisnis, oleh karena banyak diterapkan dalam bidang ini, misalnya saja; kuantitas panggilan telepon yang diterima oleh operator telepon selama suatu periode waktu pendek tertentu, jumlah klaim terhadap sebuah perusahaan asuransi selama satu minggu tertentu, banyaknya kecelakaan di perempatan jalan pada periode waktu tertentu.

Kejadian sejenis itu, yaitu kejadian yangjarang diamati (terjadi) dalam satuan waktu yang singkat atau ruang atau luas yang kecil dapat dipertimbangkan sebagai variabel acak poisson. Untuk menghitung peluang kejadian sedemikian itu dapat dipakai model atau rumus untuk distribusi poisson. Dengan kata lain distribusi poisson digunakan untuk menghitung peluang suatu kejadian yang jarang tertjadi dalam interval waktu yang singkat dan dalam luas (area) atau ruang yang kecil

A. Ciri-ciri/karakteristik dari Percobaan Poisson

Percobaan poisson memiliki beberapa karakteristik (Walpole,1982) antara lain: 1 Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah. 2 Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut. 3 Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan.

B. Peluang Kejadian Distribusi Poisso

Peluang kejadian x sukses dalam selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, dirumuskan sebagai berikut :

                              

P(x) = peluang terjadinya x kejadian sukses

x     = jumlah kejadian yang diharapkan sukses

 m   = rata-rata hitung

e     = bilangan Napier atau bilangan Euler (e = 2,71828)

Contoh 4-4 Kebangkrutan bank di suatu negara yang disebabkan oleh kesulitan keuangan terjadi rata-rata 4 bank setiap tahun. Berapa peluang paling sedikit 3 bank bangkrut pada suatu tahun tertentu?

Penyelesaian

Petunjuk: Untuk mempermudah perhitungan nilai dari e ^-m , Misalnya, e ^-2 = 0,1353; e ^-2,1 = 0,1225; e ^-2,4 = 0,1177; e ^-3 = 0,0498; e ^-4 = 0,0183

Misalkan x = kejadian jumlah bank yang bangkrut m = 4 ® e ^-4 = 0,0183

Paling sedikit 3 bank bangkrut, berarti x ³ 3

            

Maka,

P(X ³ 3 ) = 1 - 0,0183 -  0,0732 - 0,1464

                              =   0,7621                     

Jadi, peluang bahwa paling sedikit 3 bank bangkrut pada suatu tahun tertentu adalah 0,07621 atau 76,21%

C. Pendekatan Poisson Terhadap Distribusi Binomial

Dalam keadaan tertentu, sebaran poisson dapat juga dipakai sebagai pendekatan sebaran binomial. Kapan sebaran poisson dapat digunakan untuk menghampiri sebaran binomial? Para statistikawan belum ada kata sepakat mengenai hal ini. Black (2011) menyatakan bahwa bila n> 20 dan np ≤ 7, sebaran poisson dapat digunakan untuk menghampiri sebaran binomial.

Sementara itu, Berenson dan Levine (1996), mengemukakan suatu ukuran yang lebih tegas yaitu sebaran poisson dapat digunakan sebagai pendekatan sebaran binomial bila n ³ 20 dan p ≤ 0,05. Berkaitan dengan distribusi Poisson sebagai pendekatan dari distribusi Binomial, maka rata-ratanya dihitung per rumus 4.5 . Sementara variansi dan simpangan baku dari suatu variabel acak distribusi peluang Poisson, besarnya masing-masing dihitung dengan rumus 4.6 dan rumus 4.7

                               

Contoh 4-6 Sebuah hotel diiklankan disebuah koran terbitan lokal untuk dijual. Pembaca koran tersebut ditaksir 100.000 orang dan peluang seorang pembaca akan memperhatikan iklan tadi 0,00003.

Pertanyaan:

(a) Berapa pembaca diharapkan akan memperhatikan iklan tersebut?

(b) Berapa peluang hanya seorang pembaca yang memperhatikan iklan tersebut?

(c) Berapa peluang bahwa yang memperhatikan iklan tersebut tidak kurang dari 5 tapi tidak lebih dari 7    orang pembaca?

Penyelesaian

n = 100.000 dan p = 0,00003

Misalkan x = banyak orang yang membaca iklan tersebut

Sesungguhnya ini merupakan percobaan binom, oleh karena n besar (n = 100.000>20) dan p sangat kecil (p = 0,00003<0,05), maka digunakan distribusi paisson sebagai pendekatan distribusi Binominal.

(     a)    m = E(X) = . . . ?

m = E(X) = np = 100.000 (0,00003) = 3

Jadi, banyaknya orang yang diharapkan akan membaca iklan tersebut adalah 3 orang

(   
      b)   Hanya seorang pembaca, ini berarti x = 1, dan P(1) = . . . ?

Jadi, peluang bahwa hanya satu orang pembaca akan memperhatikan iklan tersebut adalah 14,94%

(     
         c)    Jumlah orang yang membaca iklan tersebut tidak kurang dari 5 orang tapi tidak lebih dari 7 orang, ini artinya (5  ≥ X ≤ 7)

           P(5 ≥ X ≤ 7) = . . . ?

     

Jadi, peluang bahwa yang membaca iklan tersebut tidak kurang dari 5 orang tapi tidak lebih dari      7 orang adalah 0,1728 atau 17,28%.

2.3 Distribusi Normal

Distribusi peluang kontinu yang paling penting dalam bidang statistik adalah distribusi peluang normal atau yang disingkat dengan “distribusi normal” saja. Banyak ahli matematika berusaha untuk mengembangkannya. Diantaranya Carl F. Gauss (1777-1885), seorang ahli matematika, fisika dan astronomi berkebangsaan Jerman, sehingga sebagai penghargaan terhadap Gauss, distribusi normal juga disebut distribusi Gauss

     A.      Fungsi Kepekatan Distribusi Normal

Distribusi peluang normal memiliki fungsi kepekatan sebagai berikut:

           

p = bilangan konstan (p = 3,14159)

e = bilangan Euler (e = 2,71828)

m = rata-rata hitung

s = simpangan baku/standar deviasi

X = variabel acak kontinu

     

          B.      Ciri-ciri Distribusi Normal

Suatu distribusi normal (populasi) memiliki ciri–ciri sebagai berikut :

(1) Grafiknya selalu di atas sumbu X. Grafiknya merupakan garis lengkung yang halus, dan bentuknya seperti genta.

(2) Grafiknya simetris terhadap, x = m.

(3) Mempunyai satu modus yaitu nilai terbesar untuk f(X) di x = m.

(4) Grafiknya mendekati sumbu datar X, mulai pada x = m + 3s dan x = m - 3s.

(5) Luas daerah di bawah lengkung kurva (dan di atas sumbu X) dari - sampai + sama dengan 1 bagian luas daerah

          
          C   .      Hubungan Luas Daerah dengan Peluang Suatu Kejadian

Luas daerah di bawah lengkungan kurva normal dengan batas-batas nilai X tertentu, menunjukkan besarnya peluang bagi variabel acak kontinu X, pada batas-batas tertentu tersebut. Untuk menghitung luas daerah di bawah lengkungan kurva dengan batas-batas nilai X tertentu dapat dipakai rumus integral tertentu. Maka dari itu, berdasarkan fungsi kepekatan sebaran normal, peluang variabel acak kontinu X, dengan batas-batas x = a (batas bawah) dan x = b (batas atas) dapat dihitung dengan rumus 

                 

Dengan rumus  ini, tentu saja perhitungan peluang distribusi normal akan menjadi rumit. Untuk mempermudah perhitungannya, maka distribusi normal diubah terlebih dahulu menjadi distribusi normal baku.

           D.      Distribusi Normal Baku

Distribusi normal baku adalah distribusi normal dengan nilai rata-rata sama dengan nol (m = 0) dan simpangan baku sama dengan satu (s = 1)

           E.       Membakukan Distribusi Normal

Distribusi normal/sebaran normal yang memakai skala X dapat dibakukan/ dirubah ke dalam bentuk distribusi normal baku (menggunakan sekala Z) dengan jalan merubah variabel acak X menjadi variabel acak Z, dengan rumus.

dengan,

X = variabel acak kontinu tertentu (yang dipilih)

m = rata-rata distribusi variabel acak kontinu

s = simpangan baku distribusi variabel acak kontinu

Z = variabel acak baku yang merupakan padanan dari variabel acak X kontinu yang dipilih

Nilai Z. Berdasarkan rumusdi atas, nilai z adalah jarak antara nilai variabel kontinu X tertentu, terhadap rata-rata hitung populasi m, dibagi oleh simpangan baku/standar deviasi populasi, s. Dengan kata lain, nilai z mengukur jarak antara nilai X tertentu terhadap rata-ratanya yang dinyatakan dalam satuan simpangan bakunya

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa distribusi binominal merupakan salah satu model distribusi peluang untuk variabel acak diskrit. Koefisien Binomial menunjukkan peluang kejadian yang diharapkan (kejadian sukses) dari sejumlah n percobaan. Misalkan untuk memperkirakan apakah peluang lebih banyak gagal atatu sukses dari sebuah usaha. Distribusi binomial merupakan suatu performans dari suatu percobaan, percobaan tersebut hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “ sukses” atau “gagal”. Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli ( Bernoulli Trial).

.

3.2 Saran

Sekian isi makalah yang kami buat tentang distribusi binominal, paison dan distribusi normal. Semoga dengan makalah yang kami buat dapat bermanfaat bagi kita semua. Dalam pembuatan makalah ini kami menyadari betul masih terdapat banyak kesalahan dan kekeliruan maka dari itu penulis mengharapkan kritk dan saran yang membangun kepada pembaca. Selai itu penulis sampaikan kepada pembaca agar tidak erasa cepat puas dengan materi yang ada karena masih banyak cara yang bisa di jadikan media belajar dan penambahan wawasan 

DAFTAR PUSAKA

Aczel, Amir d., dan Jayavel Sounderpandian. Complete Business Statitistics. Ed. ke-5. New York : Mc Graw-Hill, 2002.

Anto Dayan. Pengantar Metode Statistik. Jilid II. Jakarta : LP3ES, 1974. Barrow,

M. Statistic for Economics, Accounting and Bussiness Studies. Ed. ke-2. London: Addison Wesley Longman Limited, 1996.

Berenson, Markl., dan David M. Levine. Basic Business Statistics: Concepts and Applications. Ed.ke- 6. New Jersey : Prentice Hall Inc.,1996.

Black, Ken. Applied Business Statistics: Making Better Business Decisions. Ed. ke-6. New York : John Wiley, 2011.

Dixon, W. J., dan F.J. Massey, Jr. Introduction to Statisdtical Analysis. Ed. Ke4. New York : Mc Graw-Hill, 1984.

Elifson, K. W., R. P. Runyon dan A. Haber. Fundamental of Social Statistics. Ed. Ke-2. SIngapore : McGraw-Hill, 1990.

Share this post